模論
自由模
自由模是行為最像向量空間的模：它有基。每個元素都是基元素帶環係數的唯一有限組合，所以你可以像線性代數裡那樣老老實實地做座標計算。自由模是最簡單、最透明的模，而每個模都是某個自由模的商——它們是構造一切模的原料。
形式地說，R-模 F 在集合 B（F 的子集）上自由，如果 F 的每個元素都是 B 中有限多個元素的唯一 R-線性組合；等價地，F 同構於若干份 R 的直和，B 的每個元素對應一份。B 的基數稱為秩。其定義性的泛性質是：從 B 到任意 R-模 M 的任意函數都唯一地延拓為 R-模同態 F -> M，所以自由模是 R-模範疇中的自由對象。
在體上每個模都是自由的（這恰好是任意向量空間存在基），但在一般環上多數模並非自由——Z/2Z 不是自由 Z-模，因為沒有非零子集線性無關。一個微妙之處：對交換環秩是良定的，但存在（非交換）環 R 使得 R 作為模同構於 R 的平方，所以一旦離開交換世界，連秩都可能失靈。
帶標準基 e_1, ..., e_n 的 R^n 是 R 上秩為 n 的自由模。在 Z 上，模 Z ⊕ Z 是秩為 2 的自由模，基為 (1,0)、(0,1)，而 Z/2Z 沒有任何 Z-線性無關的元素，完全不是自由的。
R 的各份直和就是自由模；像 Z/2Z 這樣的撓模絕不是。
每個自由模都是投射的且平坦的，但逆命題不成立；不過在主理想整環上，自由模的每個子模仍是自由的，這是結構定理的技術核心。在局部環上，有限生成的投射模必為自由（這是中山引理發揮作用的一種形式）。
另見