主理想整環上模的結構定理

結構定理是這條偉大的分類結果，它斷言：在主理想整環上，每個有限生成模在同構意義下不過是最簡單可能的片段的直和——若干份環的自由拷貝，加上若干個循環撓塊。不會出現任何更稀奇古怪的東西。正是這一條定理同時分類了有限生成阿貝爾群，並在線性代數中產生約當標準形與有理標準形。

設 R 是主理想整環，M 是有限生成 R-模。則 M ≅ R^r ⊕ R/(d_1) ⊕ R/(d_2) ⊕ ... ⊕ R/(d_k)，其中 r ≥ 0 是自由秩，d_1 | d_2 | ... | d_k 是非零非單位（不變因子），且這些數據唯一。等價地，撓部分分解為質冪循環片段 R/(p^a)（初等因子）。撓子模與自由秩 r 本身就是不變量。

證明依賴於主理想整環上自由模的子模仍自由這一事實，再結合關係矩陣的史密斯標準形：行與列運算把任何表現矩陣化為對角形，對角線上即不變因子。應用於 R = Z 得到有限生成阿貝爾群基本定理；應用於 R = k[x]、M 是由線性算子使之成為 k[x]-模的向量空間時，得到該算子的有理標準形與約當標準形。