有限生成阿貝爾群

在阿貝爾群中，有限生成的那些是被完全理解的——有一個乾淨的分類，毫無意外。每個這樣的群都分裂為一個「自由」部分（計數無限延展的獨立方向）加上一個有限的「撓」部分（記錄循環圈），而整個群不過是若干循環塊的直和。

形式地，阿貝爾群 A 稱為有限生成的，若存在有限個元素 g_1, ..., g_n 使 A 的每個元素都是它們的整係數組合。結構定理便說 A 同構於 Z^r ⊕ Z/d_1Z ⊕ ... ⊕ Z/d_kZ，其中 r ≥ 0 是秩（自由部分），而 d_1 | d_2 | ... | d_k 是不變因子。等價地，按素數重新分組，A 是 Z^r 與素數冪階循環群的直和（初等因子形式）。數據 (r; d_1, ..., d_k) 是完整的同構不變量。

這是有限生成模在主理想整環上的結構定理在 PID 取為 Z 時的阿貝爾特例。它是諸如歐幾里得整環上有限生成模的分類，以及矩陣的有理/約當標準形（取 PID 為多項式環）背後的引擎。「有限生成」這一假設至關重要——像加法下的有理數 Q 這類無限生成的阿貝爾群無法被任何這樣的有限不變量列表分類。