主理想整環

在某些環裡理想可能很複雜，需要同時由許多元素生成。相比之下，在主理想整環中，每個理想都盡可能簡單：它就是某個單一元素的全部倍數。整套理想理論坍縮為元素間整除性的研究，這正是為什麼主理想整環感覺如此像整數。

嚴格地說，主理想整環是這樣一個整環 R：其中每個理想 I 都形如 (a) = a·R = { a·r : r 屬於 R }（對某個 a 屬於 R）。等價地，每個理想都由單個元素生成。這類環自動是諾特環，且是唯一分解整環；事實上它們恰好是那些既為唯一分解整環、又滿足克魯爾維數至多為一（每個非零素理想都是極大的）的整環。

主理想整環之所以重要，除了其優雅之外，關鍵在於主理想整環上有限生成模的結構定理：每個這樣的模都是循環模 R/(d_i) 與自由部分的直和。僅這一個定理就同時給出有限生成阿貝爾群的分類（在 Z 上）以及線性算子的有理標準形與若爾當標準形（在 k[x] 上）。要小心：二元多項式環 k[x, y] 不是主理想整環——理想 (x, y) 確實需要兩個生成元。