高等環論
唯一分解整環
算術基本定理說每個整數本質上只有一種方式分解為質數。唯一分解整環就是任何讓這一夢想仍然成真的環——其中「本質上只有一種方式」被表述得足夠精確，以至於能在遠比整數古怪的環境中存活下來。
整環 R 是唯一分解整環，如果每個非零非單位元素都能寫成若干不可約元素之積，且這種分解在重排因子以及把因子替換為相伴元（乘以單位）的意義下是唯一的。等價地，R 是唯一分解整環若且唯若它是一個整環，其中每個不可約元素都是素元，並且主理想上的升鏈條件成立——後者保證分解確實存在。
等級關係是 歐幾里得整環 ⊂ 主理想整環 ⊂ 唯一分解整環 ⊂ 整環，每個包含都是嚴格的。一個關鍵的穩定性結果是：若 R 是唯一分解整環，則多項式環 R[x] 也是（這是高斯引理的推論），所以 Z[x] 和 k[x_1, ..., x_n] 都是唯一分解整環，儘管它們不是主理想整環。唯一分解失效的經典例子是 Z[√−5]，其中 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5) 給出兩個真正不同的不可約分解——正是這種失效促成了戴德金的理想唯一分解。
在 Z[√−5] 中，數 6 有兩種互不相容的分解：6 = 2·3 以及 6 = (1 + √−5)(1 − √−5)。這四個因子全都不可約，且任何兩個都不相伴，所以 Z[√−5] 不是唯一分解整環。
唯一分解失效的歷史性例子。
又稱
另見