不可約元素

不可約元素是無法被拆成更小的真正零件的元素——環中乘法意義下的「原子」。它推廣了質數的觀念：質數只允許平凡的分解。

在整環 R 中，一個非零非單位元素 a 稱為不可約的，如果只要 a = b·c（b、c 屬於 R），b 與 c 之中必有一個是單位。換言之，a 的每個分解都被迫是平凡的，即 a 乘以一個單位。按慣例，單位本身和零都被排除在討論之外，故「不可約」只留給真正的基本構件。

關鍵在於：不可約並不等同於素。素元 p 滿足更強的性質：p 整除乘積 b·c 時，p 必整除 b 或整除 c。在整環中每個素元都不可約，但反過來可能不成立——在 Z[√−5] 中元素 2 不可約卻不是素的，因為它整除 6 = (1 + √−5)(1 − √−5) 卻不整除任一因子。這兩個概念恰好在唯一分解整環中重合，而正是這種重合使分解得以唯一。