艾森斯坦判別法

證明一個多項式不可約通常很難——你必須排除所有可能的分解。艾森斯坦判別法是一條美妙而廉價的捷徑：掃一眼係數，檢驗單個質數的整除模式，若符合，則不可約性立刻得到保證。

設 f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 的係數取自整環 R，並設 p 是 R 的一個素理想。假設 p 不包含首項係數 a_n，p 包含其餘每個係數 a_0, ..., a_{n−1}，且 p^2（p 中兩元素之積所生成的理想）不包含常數項 a_0。那麼 f 在 R 的分式域上不可約。在整數上即為：某質數 p 整除除首項外的所有係數，且 p^2 不整除常數項。

該判別法是充分而非必要的——許多不可約多項式都通不過它。把它與代換結合可大幅增強其威力：若 f(x) 不明顯滿足艾森斯坦條件，f(x + c) 也許滿足。其標準勝利是第 p 個分圓多項式 1 + x + ... + x^{p−1}，作代換 x ↦ x + 1 後它在 p 處成為艾森斯坦型，從而證明它在 Q 上不可約。