分圓擴張

在複平面單位圓上畫一個正多邊形，取它的各個頂點——這些就是單位根，即方程 x^n = 1 的解。把它們全部添加到一個基域上，所得到的就是分圓擴張。由於單位根相乘不過是在同一個圓上旋轉，由此產生的對稱性異常整齊：伽羅瓦群最終是阿貝爾的。

具體地說，K 的 n 次分圓擴張是 K(zeta_n)，其中 zeta_n 是一個本原 n 次單位根。在有理數上，zeta_n 的極小多項式是第 n 個分圓多項式 Phi_n(x)，它在 Q 上不可約，次數為 phi(n)（歐拉函數）。因此 [Q(zeta_n) : Q] = phi(n)，且該擴張是伽羅瓦的，因為 zeta_n 的共軛（其餘的本原 n 次根）都落在 Q(zeta_n) 中。

伽羅瓦群 Gal(Q(zeta_n)/Q) 與單位群 (Z/nZ)^* 典範同構：對每個與 n 互素的 a，自同構 sigma_a 把 zeta_n 送到 zeta_n^a，且 sigma_a 與 sigma_b 複合等於 sigma_{ab}。這使該群是阿貝爾的，並把數論與伽羅瓦理論緊密聯繫起來——例如克羅內克-韋伯定理斷言：Q 的每個有限阿貝爾擴張都包含於某個分圓域之中。