阿貝爾擴張

阿貝爾擴張是一種其對稱變換彼此都可交換的伽羅瓦擴張：以任意先後順序施加其中兩個，結果都相同。可交換的對稱變換遠比那些糾纏在一起、互不可交換的對稱變換易於梳理，這正是為何阿貝爾擴張是伽羅瓦理論中我們理解得最透徹的部分。

形式地說，伽羅瓦擴張 L/K 稱為阿貝爾的，若伽羅瓦群 Gal(L/K) 是阿貝爾群。由於阿貝爾群的子群自動是正規的，伽羅瓦對應變得格外乾淨：每個中間域自身都在 K 上是伽羅瓦的，而子域的格映照了阿貝爾群（已被透徹理解的）子群格。分圓擴張和庫默爾擴張是其典型例子。

阿貝爾擴張是類域論的研究對象——這是二十世紀數論的深刻成就之一，它用內稟的算術數據（理想、伊代爾、射線類群）對給定數域的所有阿貝爾擴張進行分類。克羅內克-韋伯定理是其原型：Q 的每個阿貝爾擴張都包含於某個分圓域之中，因此 Q 的極大阿貝爾擴張就是所有 Q(zeta_n) 的並。