循環擴張

循環擴張是最簡單的非平凡伽羅瓦擴張：它的所有對稱變換都是單個對稱變換的冪。正如時鐘的小時由反覆前進一格生成，這裡每個自同構都是某個生成自同構的若干次迭代。這使循環擴張成為構造可解塔的原子。

形式地說，伽羅瓦擴張 L/K 稱為循環的，若 Gal(L/K) 是循環群，即由一個元素生成。每個循環擴張都是阿貝爾的（循環群是阿貝爾的），反過來，藉助有限阿貝爾群的結構定理，每個有限阿貝爾擴張都分解為若干循環片段的合成。在含有 n 次單位根的域上，n 次循環擴張恰好是庫默爾擴張 K(a^{1/n})；若沒有這些根，阿廷-施賴埃爾理論用 x^p - x - a 處理特徵 p 的情形。

循環擴張是根式塔的級階：一個多項式可由根式求解，當且僅當其分裂域位於一座循環（事實上，添加單位根後即庫默爾或阿廷-施賴埃爾）擴張之塔的頂端，等價地，當且僅當其伽羅瓦群是可解的。希爾伯特定理 90 給出 n 次循環擴張的乘法描述：一個元素範數為 1 當且僅當它對某生成元 sigma 形如 sigma(b)/b。