庫默爾擴張

庫默爾擴張是在一種幸運情形下通過取 n 次根所構造的擴張：此時你的基域已經包含了全部 n 次單位根。在這種情形下添加某元素的 n 次根表現得異常良好：對稱群是阿貝爾的，而且你能直接從所取根的那些元素讀出該群。

精確地說，設 K 是含有本原 n 次單位根的域（於是 n 在 K 中可逆）。指數為 n 的庫默爾擴張是形如 L = K(a_1^{1/n}, ..., a_r^{1/n}) 的域，由添加 K 中有限個元素 a_i 的 n 次根得到。這樣的 L 是 K 的有限阿貝爾擴張，其伽羅瓦群的指數整除 n。庫默爾理論把這變成一個精確的對應：K 的指數為 n 的阿貝爾擴張與 K^* / (K^*)^n 中包含 (K^*)^n 的子群一一對應，該子群由諸 a_i 生成。

「單位根已經存在」這一假設是本質的，也正是關鍵所在。若沒有它——例如把 2 的實立方根添加到缺少本原三次單位根的 Q 上——所得擴張甚至不是伽羅瓦的，乾淨的阿貝爾描述隨之瓦解。庫默爾理論是結構定理的逆向夥伴：在含有足夠多單位根的域上，每個 n 次循環擴張都可由添加單個 n 次根得到。