弗羅貝尼烏斯自同態

在普通算術中，(a + b) 的某次冪是一串雜亂的展開。但在素特徵 p 的世界裡，(a + b)^p 中幾乎所有的交叉項都被 p 整除，因而消失。結果便是「新生之夢」成真：(a + b)^p = a^p + b^p。取 p 次冪竟同時尊重加法與乘法，所以它是一個環同態——弗羅貝尼烏斯自同態——也是特徵 p 代數的標誌性特徵之一。

確切地說，設 R 是素特徵 p 的交換環。映射 F(x) = x^p 是 R 的環自同態：它顯然滿足 F(xy) = F(x)F(y)，又因二項式係數 C(p, k)（0 < k < p）皆被 p 整除而滿足 F(x + y) = F(x) + F(y)。在特徵 p 的體上其核平凡，故 F 單射；在階為 q = p^n 的有限體上，第 n 次迭代 F^n 是恆等映射。

弗羅貝尼烏斯是正特徵體論的引擎。F 的滿射性恰是體為完美體的條件；它在 F_p 上的不動體就是 F_p 本身（這給出費馬小定理 a^p = a）；在 F_(p^n) 上弗羅貝尼烏斯生成它在 F_p 上的循環伽羅瓦群。在數論中，它提升到整數環上掌控素數如何分裂。