可分多項式

設想在某個代數閉包上把多項式徹底分解，使它裂成一次因式。可分多項式就是其根全部互異的那種——這些一次因式無一重複。從幾何上看，曲線在每個根處乾淨地穿過座標軸，而不是觸碰後彈回；從代數上看，該多項式沒有暗藏一個伺機破壞良好性態的重根。

確切地說，K[x] 中的多項式 f 稱為可分的，若它在 K 的某代數閉包中沒有重根（部分作者會先要求 f 不可約）。簡潔的判別法藉助導數：f 有重根當且僅當 f 與其形式導數 f' 有公因子，即 gcd(f, f') 非常數。所以不可約的 f 可分，恰當 f' 不為零。

在完美體上——一切特徵 0 的體以及一切有限體——每個不可約多項式自動可分，所以這個概念只有在正特徵的不完美體上才起作用。經典的反例是有理函數體 F_p(t) 上的 x^p - t：它等於 (x - t^(1/p))^p，即單根重複 p 次，其導數恆為零。