不可分擴張

你遇到的大多數體擴張——任何在有理數或有限體之上的——都性態良好：每個元素都是某個根全互異的多項式的根。不可分擴張是病態的反面。它含有一個元素，其極小多項式有重根，使該元素無法乾淨地與它的「代數孿生」區分開來。這類擴張只生存於不完美體的正特徵中，它們正是伽羅瓦理論需要可分性假設的原因。

確切地說，K 的代數擴張 L 不可分，是指 L 中某元素 a 在 K 上不可分，即其極小多項式不是可分多項式——它在代數閉包中有重根。在特徵 p 下，這樣的 a 的極小多項式總形如 g(x^(p^e))，其中 g 可分、e >= 1；純不可分的情形是 a^(p^e) 落在 K 中而 a 不在。

不可分擴張行為古怪：嵌入代數閉包的方式數少於次數所暗示的數目，可分次數是全次數的真因子，且跡形式可能退化。標準例子是 F_p(t) 上的 F_p(t^(1/p))：儘管次數為 p，它到閉包的唯一 K 嵌入卻是恆等映射。