嵌入代數閉包

當你拿到一個抽象的域擴張時，把它種入一個一切早已分裂的大型環境域——代數閉包——會很有幫助。嵌入正是這樣一種種植：把擴張忠實地置入閉包之中的方法。數清做這件事的不同方式有多少，正是伽羅瓦理論衡量一個擴張對稱「大小」的途徑。

形式地說，固定 K 的一個代數閉包 K-bar。對代數擴張 L/K，L 到 K-bar 的一個 K-嵌入是一個單的域同態 L -> K-bar，它在 K 上限制為恆等。域之間的域同態自動是單射，而 K 到一個代數閉域的任何嵌入都能延拓到任何代數擴張 L——其存在性最終依賴於佐恩引理。所有這種嵌入的像就是 L 在 K-bar 內的共軛域。

有限擴張 L 到 K-bar 的不同 K-嵌入的個數是可分次數 [L : K]_s，它至多為 [L : K]，等號恰在 L/K 可分時成立。當 L/K 進一步正規（故在可分情形下是伽羅瓦的）時，每個嵌入都落在 L 自身之中，於是這些嵌入恰為自同構，其個數等於 |Gal(L/K)| = [L : K]。因此嵌入把可分性、正規性以及伽羅瓦群的階這些概念統一成一條計數原理。