同態

同態是兩個代數結構之間的一種映射，它尊重彼此的運算——把一方的「語法」搬到另一方而不打亂。其口號是：先做運算再映射，或先映射再做運算，得到的結果相同。它是一種保意義的翻譯，即便會丟失一些細節。

形式地說，就群而言，從 G 到 H 的函數 f 若對所有 a, b 都有 f(a * b) = f(a) * f(b)，則它是同態——左邊用 G 的運算，右邊用 H 的運算。就環而言，映射須同時尊重加法與乘法。同態會自動把單位元映為單位元、把逆元映為逆元，所以結構確實被搬運了過去。

同態不必是單射或滿射；它可能壓縮資訊。壓縮之後倖存下來的，由核（一切被映到單位元的元素）和像來刻畫。群同態的核永遠是正規子群，環同態的核永遠是理想——這正是這些映射與商結構直接相連的方式。