同構

同構是說兩個結構是同一樣東西穿著不同的衣裳。如果你能把它們的元素完美地配對起來，而且這種配對尊重每一個運算，那麼關於其中一個為真的任何事情，對另一個也為真——區別只在元素的名字。這是數學正式表達「它們本質上完全相同」的方式。

形式地說，同構是既是雙射又是同態的映射：它保持運算，並把兩個結構的元素恰好一一配對、沒有任何剩餘。由於它可逆、其逆也是同態，這種關係是完全對稱的——雙方地位平等。以此相連的兩個結構稱為同構的。

「在同構意義下」對對象進行分類是代數的核心目標之一：與其列出一串看上去相像的群的無盡清單，不如把每一種真正不同的形態描述一次。困難之處往往在於證明兩個結構並不同構——為此你要找一個不變性質，比如元素個數、某給定階的元素個數，或運算是否可交換，使一個具有而另一個不具有。