可分閉包

在一個體的代數閉包內部，有些元素「性態良好」（可分），有些——在正特徵下——則不然。可分閉包恰好收集了那些性態良好的元素：它是代數閉包中完全由可分元素構成的最大部分。在完美體上它與整個代數閉包重合，但在不完美體上它是一個嚴格更小的子體，也是伽羅瓦理論的天然舞台。

確切地說，固定 K 的一個代數閉包 K 的橫線。可分閉包 K_sep 是 K 的橫線中所有在 K 上可分的元素之集，即其極小多項式根互異者。它實際上是一個體，是 K 的橫線在 K 上的極大可分子擴張；擴張 K_sep 在 K 上可分，而 K 的橫線在 K_sep 上純不可分。

可分閉包承載著 K 的絕對伽羅瓦群：自同構群 Gal(K_sep / K) 是一個有限射群，對它的研究是數論與伽羅瓦上同調的核心。在特徵 0 或有限體上，可分閉包等於代數閉包，故那裡看不出這個區別；它只在像 F_p(t) 這樣的不完美體上才重要，那裡 K 的橫線真包含 K_sep。