有限射影群

有限射影群是把一整座有限群之塔縫合成一個緊緻對象後所得之物。設想你只通過一個群越來越細的有限商來認識它，再把所有這些近似知識匯成單一的極限。其結果是一個緊緻且完全不連通的拓撲群，它是賦予無限伽羅瓦群以意義的唯一誠實方式——那裡自然拓撲不可忽略。

形式地說，有限射影群是一族有限群（各賦離散拓撲）的逆（射影）極限；等價地，是一個緊緻豪斯多夫且完全不連通的拓撲群。它的開子群恰是那些開的有限指數子群，它們構成單位元的鄰域基。每個有限射影群都是其有限商 G/N（取遍開正規子群 N）的逆極限，從而由有限資料復原。

激勵性的例子是絕對伽羅瓦群 Gal(K-sep/K) = lim Gal(L/K)，取遍有限伽羅瓦子擴張 L；克魯爾拓撲使伽羅瓦理論基本定理對無限擴張成立，把閉子群與中間域對應起來。有限射影群的上同調必須是連續的：要求上鏈局部常值，H^n 作為有限商上同調的餘極限來計算。這種連續上同調正是伽羅瓦上同調所使用的。