有限域的伽羅瓦群

有限域是最有條理的域，它們的伽羅瓦理論也反映了這一點：一個有限域在另一個有限域上的每個擴張都是循環的，而且有唯一一個典範的對稱變換——取 p 次冪——其各次冪產生其餘所有對稱變換。只要知道這一個映射，即弗羅貝尼烏斯，就知道了整個對稱結構。

精確地說，設 F_q 是含 q = p^m 個元素的有限域（p 為素數），考慮擴張 F_{q^n}/F_q。它是 n 次伽羅瓦擴張，其伽羅瓦群是 n 階循環群，由相對弗羅貝尼烏斯自同構 phi(x) = x^q 生成。冪 phi、phi^2、...、phi^n = id 恰好是這 n 個不同的自同構，而對 n 的每個因子 d，phi^d 的不動域是 F_{q^d}。

這給出了一個完全透明的伽羅瓦對應：包含 F_q 的 F_{q^n} 的子域對應於 n 的因子，與循環群 Z/nZ 的子群格相匹配。就絕對版本而言，F_p 的代數閉包在 F_p 上的伽羅瓦群是整數的射有限完備化，即諸循環群 Z/nZ 的逆極限，由弗羅貝尼烏斯拓撲生成。