代數閉體

代數閉體是這樣一個地方：你能寫下的每個多項式方程都已經有解——永遠不必為了分解而發明新的數。複數是其原型：代數基本定理說每個具有複係數的非常數多項式都有複根。在這樣的體中，多項式徹底分解為一次因式，再也沒有非平凡的代數擴張可造。

確切地說，體 K 稱為代數閉的，若 K[x] 中每個非常數多項式在 K 中至少有一個根。等價表述眾多：每個 n 次多項式在 K 上裂成 n 個一次因式；唯一的不可約多項式就是一次的；並且 K 沒有真代數擴張。因此代數閉體是代數擴張的終對象——在代數意義上你無法再往上走。

每個體 K 都嵌入某個代數閉體，而最小的那個（在非典範同構意義下唯一）就是它的代數閉包。代數閉體總是無限的，其結構僅由特徵與超越次數決定：兩個特徵相同、在素體上超越次數相同且不可數的代數閉體是同構的。複數 C 是代數閉的，特徵為 0。