多項式族的分裂體

給定單個多項式，它的分裂體是它徹底分解為一次因式的最小擴張——你恰好添加足夠的根，不多不少。對於一整族多項式，你同時做同樣的事：構造一個最小的單一體，使該族中每個多項式都在其中分裂。它是大到足以一次性容納所選全部多項式之全部根的最小舞台。

確切地說，給定 K 上的一組多項式 F，分裂體是 K 的擴張 L，使得每個 f 屬於 F 都在 L 上分解為一次因式，且 L 由 F 中所有 f 的根在 K 上生成。對有限集，這與那個單一乘積的分裂體相同；對無限族，則添加所有成員的所有根。分裂體存在，且在 K 同構意義下唯一。

這一構造是正規擴張與伽羅瓦擴張的源頭：一個有限擴張是正規的，恰當它是某個多項式的分裂體；而一族可分多項式的分裂體是一個伽羅瓦擴張，其群置換諸根。把這一族推到「K 上所有多項式」便得到代數閉包，所以分裂體在簡單的添根與完整的代數閉包之間內插。