完美體

完美體是這樣一種體：正特徵裡那些惱人的病態乾脆不出現。在這種體上，每個代數擴張都和有理數的擴張一樣規整：沒有任何極小多項式帶重根，沒有元素是「不可分的」，伽羅瓦理論也無須額外假設即可運作。你所遇到的大多數體——有理數、實數、複數、一切有限體——都是完美的，這正是這些微妙之處在你刻意尋找之前一直隱而不顯的原因。

確切地說，體 K 稱為完美的，若 K 的每個代數擴張都可分，等價地若 K 上每個不可約多項式都可分。有一個乾淨的判據：特徵 0 的體總是完美的；特徵 p 的體 K 完美當且僅當弗羅貝尼烏斯自同態 x 映到 x^p 滿射，即 K 中每個元素在 K 中都有 p 次根。

標準的不完美體是有理函數體 F_p(t)：元素 t 在其中沒有 p 次根，故弗羅貝尼烏斯不滿射，且 x^p - t 不可約卻不可分。過渡到完美閉包（添加所有更高的 p 次冪根）可修復此事。完美性恰是讓你能徹底忘掉可分性的那個假設。