極大阿貝爾擴張

在一個域的所有阿貝爾擴張——那些對稱變換可交換的擴張——之中，存在唯一一個最大者，它一舉把它們全部囊括。極大阿貝爾擴張就是這個普遍的容器：把你能得到的每個阿貝爾擴張都堆疊起來，它們的並仍是阿貝爾的，且在保持阿貝爾的前提下再也無法增大。

形式地說，域 K 的極大阿貝爾擴張 K^ab 是 K 的所有有限阿貝爾擴張（在固定代數閉包內）的合成。它是 K 的伽羅瓦擴張，其伽羅瓦群 Gal(K^ab/K) 是絕對伽羅瓦群 Gal(K-bar/K) 的極大阿貝爾商，即後者的阿貝爾化（按其換位子群之閉包作商）。K 的每個阿貝爾擴張都包含於 K^ab。

內稟地描述 K^ab 是類域論的核心目標。對 K = Q，答案是克羅內克-韋伯定理：Q^ab 是所有分圓域 Q(zeta_n) 的並，故 Gal(Q^ab/Q) 是射有限整數的單位群。對一般數域，其描述藉助伊代爾類群與阿廷互反映射；為任意數域尋找單位根的顯式類比，是希爾伯特第十二問題的內容，至今僅部分解決。