分圓域

取複平面單位圓上均勻分佈的點——n 次單位根，正 n 邊形的頂點——把它們添入有理數。你所得到的這個「分圓」域，是已知最美的數域之一。它的對稱性完全透明，Q 的每個阿貝爾擴張都藏在某個這樣的域裡，而它是分圓與互反律的天然居所。

n 次分圓域是 K = Q(z_n)，其中 z_n 是一個本原 n 次單位根。它在 Q 上的次數是 phi(n)，即歐拉總和函數，其整數環恰好是 Z[z_n]——令人愉快的是，此處天真的猜測是對的。z_n 的極小多項式是 n 次分圓多項式，一個次數為 phi(n) 的不可約首一整多項式。

分圓域是 Q 的阿貝爾伽羅瓦擴張，其伽羅瓦群同構於 (Z/nZ)^*，即模 n 的單位群，同構經由把每個自同構映到它作用於 z_n 時所用的指數。克羅內克-韋伯定理說 Q 的每個阿貝爾擴張都落在某個分圓域之內。素數 p 分歧當且僅當 p 整除 n，而非分歧的素數按 p 模 n 的階分裂。