高斯引理

高斯引理是一座橋樑：它讓你能把一個環良好的分解行為帶到它的多項式上去，也讓你能透過在更容易處理的分式域上工作來研究整環上多項式的分解。它是「好環上的多項式環本身也好」這一事實的技術核心。

稱唯一分解整環 R 上的一個多項式為本原的，如果它係數的最大公因子是單位——也就是說，R 中沒有任何不可約元能整除它所有的係數。高斯引理斷言：兩個本原多項式之積仍是本原的。由此可得：在 R 上不可約的本原多項式，在分式域 Frac(R) 上仍不可約，反之亦然，故對本原多項式而言，在 R 上分解與在 Frac(R) 上分解是一致的。

其標誌性推論是：若 R 是唯一分解整環，則 R[x] 也是，並由歸納法得 R[x_1, ..., x_n] 也是。這正是為什麼 Z[x] 和 k[x_1, ..., x_n] 享有唯一分解，儘管它們不是主理想整環。該引理還支撐著實用的不可約性判別：要證明 Z 上某多項式在 Q 上不可約，只需證明其本原版本在 Z 上不可約即可，而這往往容易處理得多。