相伴元

兩個元素互為相伴元，如果它們之間只差一個「單位」因子——某個可逆的、不改變分解本質內容的東西，正如 3 與 −3 在差一個符號的意義下是同一個質數。相伴元是「在無關緊要的扭轉下相同」這一觀念的環論版本。

嚴格地說，在交換環 R 中，兩個元素 a 與 b 互為相伴元，如果 a = u·b 對某個單位 u（在 R 中有乘法逆元的元素）成立。這是一個等價關係；在整環中可對稱地重述為：a 與 b 互為相伴元若且唯若 a 整除 b 且 b 整除 a，等價地若且唯若它們生成同一個主理想，即 (a) = (b)。

這一概念對於乾淨地表述唯一分解是必不可少的：分解成不可約元只在「至多差排序與相伴」的意義下唯一，因為你總可以把單位在因子之間搬來搬去。在 Z 中單位是 ±1，所以 a 唯一的相伴元是 −a。在域中每個非零元素都是單位，故所有非零元素彼此互為相伴元，這正是為什麼分解理論在域中是空洞的。