戴德金整環

普通整數享有唯一的素因子分解，域上的多項式亦然。但數域的整數環往往不然——著名的失敗 6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5))(1 - sqrt(-5)) 在 Z[sqrt(-5)] 中顯示出數有兩種真正不同的分解方式。戴德金的偉大修補是：分解理想而非分解數。戴德金整環恰好就是這種修補永遠奏效的環。

戴德金整環是一個整環 R，它是諾特的、在其分式域中整閉的、且克魯爾維數為一（每個非零素理想皆為極大理想）。這三個條件合起來等價於一條引人注目的單一性質：每個非零真理想都唯一地分解為素理想之積。等價地，每個非零分式理想皆可逆，故全體分式理想構成一個群。

原型例子是數域的整數環 O_K，更幾何地是光滑仿射曲線的坐標環。戴德金整環是唯一分解整環當且僅當它是主理想整環，而這恰好發生在其類群平凡時；類群正是這一障礙。