整閉包

當一個環有些「缺失」的元素，按理本應屬於它——滿足堂堂正正首一方程卻被遺漏的分式——整閉包就把它們悉數補回。從幾何上看這就是正規化：它修復曲線的輕度奇異性，分開自交、解開尖點，用最光滑的雙有理伴侶取代有瑕疵的模型。這是使一個環「整閉」的清理運算。

設 R 是交換環 S 的子環。R 在 S 中的整閉包是 S 中所有在 R 上整的元素之集，即滿足以 R 中元素為係數的首一多項式者。一條非平凡的定理保證這個集合本身是包含 R 的子環。當 R 是整環且 S = Frac(R) 時，便稱之為 R 的整閉包；若 R 等於其在分式體中的整閉包，則稱 R 整閉（或正規）。

每個唯一分解整環都是整閉的，故 Z 與 k[x_1, ..., x_n] 都正規；這正是為什麼「正規」是「唯一分解整環」的弱化。經典的非正規例子是 Z[sqrt(-3)]，其在 Q(sqrt(-3)) 中的整閉包是更大的環 Z[(1 + sqrt(-3))/2]——元素 (1 + sqrt(-3))/2 滿足首一多項式 x^2 - x + 1 = 0，本是整的卻被遺漏。對體上有限生成的整環，整閉包仍有限生成（諾特有限性定理），使正規化可計算。