整數環

在有理數內部，「整數」恰好就是整數集 Z。在更大的數域內部，我們想要類似的概念：那些是誠實整數而非分數的元素。正確的答案是：恰好保留域中那些為代數整數的數。這個集合是一個環，是該域中一切算術的基石。

形式地說，對數域 K，整數環 O_K 是 Z 在 K 中的整閉包：即 K 中滿足某個整係數首一多項式的元素之集。它是秩為 n = [K : Q] 的自由 Z-模，因而有一組由 n 個元素構成的整基，其分式域為 K。環 O_K 扮演著 Z 對 Q 所扮演的結構性角色。

使 O_K 強大的是：它是一個戴德金整環：即便單個元素無法唯一分解，每個非零理想仍唯一地分解為素理想之積。於是數的唯一分解之喪失在更高一層——理想的層面——得到修復，而其間的偏差由理想類群度量。