整基

向量空間有基：一小列向量，由它們經標量組合可造出每個元素。數域的整數環理應享有同樣有限、剛性的坐標系——但只許用整數係數，而非任意標量。整基恰是這樣一種坐標系，讓我們把域中每個代數整數用一組唯一的普通整數寫出。

設 K 是 n 次數域。整基是 O_K 中一組元素 b_1, ..., b_n，使得 O_K 的每個元素都唯一地寫成 Z-線性組合 m_1 b_1 + ... + m_n b_n，其中 m_i 屬於 Z。這樣的基存在，因為 O_K 是秩為 n 的自由 Z-模；等價地，這些 b_i 既是 K 的 Q-基，又在 Z 上生成 O_K。

不同的整基之間相差一個 GL(n, Z) 中的矩陣，故跡形式的行列式 det([Tr(b_i b_j)]) 與選取無關——它就是 K 的判別式。求整基可能很微妙：它並不總是某個生成元 a 的 {1, a, a^2, ..., a^{n-1}}，恰恰在 O_K 嚴格大於 Z[a] 時不是。