代數數論
數域的判別式
數域在幾何上是坐落於實或複空間中的一個整數格，如同任何格一樣，它有體積以及「拉伸」程度的概念。判別式是單個整數，它打包了這一幾何數據，並且非凡地同時記錄下恰好哪些素數分歧。它是數域的算術指紋。
設 O_K 有整基 b_1, ..., b_n，並設 s_1, ..., s_n 是 K 到 C 的 n 個嵌入。判別式為 d_K = det([s_j(b_i)])^2，即嵌入作用於基所成矩陣的行列式之平方。它是與所選基無關的整數，等於跡形式矩陣 [Tr(b_i b_j)] 的行列式。其絕對值是 O_K 作為格的餘體積之平方。
判別式的素因子恰好就是在 K 中分歧的素數（戴德金判別定理），故一個素數分歧當且僅當它整除 d_K。閔可夫斯基定理迫使 |d_K| 隨次數增長，由此推出 Q 是唯一判別式絕對值為 1 的數域，且只有有限多個判別式有界的數域。
對 Q(sqrt(d))（d 無平方因子），判別式為：若 d ≡ 1 (mod 4) 則為 d，否則為 4d。故 Q(sqrt(5)) 的判別式為 5，而 Q(sqrt(2)) 的判別式為 8，Q(sqrt(-1)) 的判別式為 -4。
2 整除 Q(sqrt(2)) 與 Q(sqrt(-1)) 的判別式而不整除 Q(sqrt(5)) 的判別式，恰恰反映出 2 在前兩者中分歧而在第三者中不分歧。
另見