分歧

當你從有理數上升到更大的數域時，一個素數 p 不再是素的，而碎裂成若干塊。通常它碎成互異的簡單塊。但有時某塊以重複的冪次出現，就像重根坍縮一樣——這個素數便「分歧」了。分歧就是素數在擴張中獲得重數的現象，且它只在有限多個素數處發生。

具體地說，設 K 是數域，整數環為 O_K，p 為一個有理素數。在 O_K 中理想 (p) 分解為素理想之積 P_1^{e_1} * ... * P_g^{e_g}。指數 e_i 是 P_i 在 p 上的分歧指數。若某個 e_i 超過 1，則稱 p 在 K 中分歧；否則稱 p 非分歧。更一般地，可談論基域的素理想在任意擴張中的分歧。

分歧的素數恰好就是整除 K 判別式的那些，故分歧由單個整數不變量所控制。p 之上每個素理想還攜帶剩餘次數 f_i = [O_K / P_i : Z / p]，並有基本恆等式 sum of e_i f_i = [K : Q]（對伽羅瓦擴張，所有 e_i 相等且所有 f_i 相等）。分歧支配著素數如何與域的幾何及伽羅瓦理論相互作用。