素數分裂

像 5 這樣的普通素數在整數中是素的，但一旦進入更大的數域，它可能不再是素的：它可以碎裂成幾個新素數，可以頑固地保持完整，也可以帶著重數坍縮。理解對每個有理素數與每個域究竟發生哪種情形，是本學科核心的計算與理論任務之一。

設 K 是 n 次數域，整數環為 O_K，p 為一個有理素數。理想 (p) 分解為互異素理想之積 P_1^{e_1} * ... * P_g^{e_g}，其分歧指數為 e_i、剩餘次數為 f_i = [O_K / P_i : F_p]，滿足基本恆等式 sum of e_i f_i = n。三種純粹行為各有其名：當有 n 個互異素理想且每個皆 e = f = 1 時，稱 p（完全）分裂；當 (p) 仍為素理想（g = 1，f = n）時，稱 p 慣性；當某個 e_i > 1 時，稱 p 分歧。

當 O_K = Z[a] 且 m(x) 是 a 的極小多項式時，(p) 的分解映照著 m(x) 模 p 的分解（庫默爾-戴德金定理），對除整除指標的有限多個素數外的一切素數成立。在伽羅瓦擴張中，分裂由弗羅貝尼烏斯元支配；對阿貝爾擴張，則由同餘條件支配——這正是類域論的種子。