多項式的判別式

判別式是從多項式係數算出的單個數，用以檢測該多項式是否有重根。它推廣了二次公式中熟悉的 b^2 - 4ac：當它為零時，有兩個根相撞；當它非零時，所有根互不相同。

形式地說，對次數為 n、首項係數為 a_n、在分裂域中根為 r_1, ..., r_n 的多項式 f，其判別式為 disc(f) = a_n^{2n-2} 乘以所有 i < j 的 (r_i - r_j)^2 之積。由於它是根的對稱函數，對稱函數基本定理保證它是 f 係數的多項式，因而無需求出根即可計算。它恰好在某 i != j 使 r_i = r_j 時為零，即 f 有重根時為零，等價地當 gcd(f, f') 非平凡時為零。

在伽羅瓦理論中，判別式攜帶群論信息。判別式的平方根，即 (r_i - r_j) 在 i < j 上的乘積，恰好被根的偶置換所固定。因此對可分多項式而言，伽羅瓦群（視為作用於根的置換群）落在交錯群 A_n 內當且僅當 disc(f) 是基域中的平方。對三次多項式而言，這正是區分伽羅瓦群 A_3 與 S_3 的判據。