作為置換群的伽羅瓦群

伽羅瓦群抽象地說是一個域自同構群，但它有一張鮮活的具體面孔：每個自同構不過是把定義多項式的根彼此攪動。於是伽羅瓦群作為這有限多個根的置換群而作用——這是伽羅瓦最初的圖景，至今仍是思考它最具計算性的方式。

精確地說，設 f 是 K 上的可分多項式，在分裂域 L 中根為 r_1, ..., r_n。每個 sigma 屬於 Gal(L/K) 置換這些根（因為它固定 K，故把 f 的根送到 f 的根），而由於這些根生成 L，此置換完全決定 sigma。這給出一個忠實的單同態 Gal(L/K) -> S_n，把伽羅瓦群實現為 n 個文字上的對稱群的子群。其像只在重新標記根的意義下確定，即在 S_n 中共軛意義下確定。

兩個結構事實使這一圖景威力巨大。其一，作用在根上可遷，恰當 f 在 K 上不可約時成立——於是不可約性翻譯為可遷性。其二，判別式、預解式以及循環型信息（由 f 模諸素數分解、藉助戴德金定理給出）讓你能在 S_n 的可遷子群中精確定位伽羅瓦群。這正是人們如何算出，比如 x^5 - x - 1 的伽羅瓦群是 S_5，因而不可由根式求解。