預解式

預解式是一個輔助多項式，由你真正關心的那個多項式的根構造而成，其設計使得它自身的行為能暴露原多項式隱藏的結構。通過觀察預解式是否分解以及如何分解，你就能確定原多項式具有哪個對稱群——這是手工計算伽羅瓦群的偵探工具。

具體地說，給定根為 r_1, ..., r_n 的多項式 f 和 S_n 的子群 H，構造一個關於根的輔助表達式（一個多元多項式），讓整個對稱群置換這些變量。該表達式的軌道給出一個預解多項式的諸根，其係數由於關於諸 r_i 對稱，落在基域中。經典的拉格朗日預解式與伽羅瓦預解式（分裂域的本原元）是這一術語的歷史來源；線性拉格朗日預解式 (1/n) sum zeta^{-k} sigma^k(alpha) 對於用根式求解循環方程至關重要。

診斷原理如下：附屬於子群 H 的預解式恰好在 f 的伽羅瓦群共軛進入 H 時獲得一個基域中的根。所以通過計算若干預解式、檢查哪些獲得有理根（並對它們做因式分解），就能在 S_n 的可遷子群中縮小伽羅瓦群的範圍。這是確定低次多項式伽羅瓦群之算法的計算骨幹。