對稱函數基本定理

有些多變量的多項式表達式並不在意這些變量的次序——交換任意兩個都使表達式保持不變。對稱函數基本定理斷言：每一個這樣的表達式，無論多麼複雜，都以唯一的方式由一份簡短的標準基本對稱構件清單搭建而成。

精確地說，x_1, ..., x_n 的多項式稱為對稱的，若它在變量的每個置換下不變。初等對稱多項式 e_1 = sum x_i、e_2 = sum_{i<j} x_i x_j、...、e_n = x_1 x_2 ... x_n 是基本構件。該定理斷言：每個對稱多項式都能寫成 e_1, ..., e_n 的多項式，係數在基環中，且此表達式唯一。用環的語言說，對稱多項式環等於多項式環 R[e_1, ..., e_n]，且諸 e_i 代數無關。

這與根和係數直接相連：若 r_1, ..., r_n 是首一多項式的根，則在符號意義下 e_i(r_1, ..., r_n) 恰為其係數（韋達公式）。因此根的任何對稱表達式——判別式、冪和、預解式係數——自動是係數的多項式，故落在基域中。這正是為何伽羅瓦理論的不變量無需離開基域即可計算的確切原因。