韋達定理

韋達定理是「根與係數的關係」背後的一般原理，從二次方程式推廣到任意次數的多項式。它揭示：多項式的係數不過是其根的對稱組合——根之和、兩兩乘積之和等等。該定理以法國數學家弗朗索瓦·韋達的名字命名。

對於根為 r、s 的二次式 x^2 + bx + c：r + s = -b，r·s = c。對於根為 r、s、t 的三次式 x^3 + bx^2 + cx + d：r + s + t = -b，rs + rt + st = c，rst = -d。規律是：每個係數（符號交替）等於根的某個特定對稱和。

這些公式之所以強大，在於它們反向而行——從根推出係數——而且即便根是無理數或複數時仍然成立。它們是競賽數學的常客，也是通往伽羅瓦理論的踏腳石：在那裡，多項式的根與係數之間的深刻關係成為研究的核心對象。