閔可夫斯基界

為計算類群，理想上我們想檢查每一個理想——但理想有無窮多個。挽救之道在於我們從不必看大理想：閔可夫斯基的數的幾何保證每個理想類都已含有一個範數低於固定顯式閾值的代表元。於是無窮的問題坍縮為在小範數理想中的有限搜索。

對 n 次數域 K，設其有 r_2 對複嵌入、判別式為 d_K，閔可夫斯基界為 M_K = (n! / n^n) * (4/pi)^{r_2} * sqrt(|d_K|)。定理斷言 O_K 的每個理想類都含有一個範數不超過 M_K 的整理想。證明把閔可夫斯基格點定理應用於坐落在閔可夫斯基空間 R^{r_1} 乘 C^{r_2} 中的格 O_K。

這是類群計算的實用引擎：列出所有範數不超過 M_K 的素理想，找出它們之間來自主理想的關係，類群便隨之而出。它也證明了類數的有限性，並且由於 M_K 至少為 1 迫使當 K 不等於 Q 時 |d_K| 大於 1，從而每個非平凡數域都有一個分歧的素數。