理想的範數

我們需要一種方法來度量理想的「大小」——更大的理想從環中切出更大的塊，我們想要一個數來刻畫它。對整數而言，理想 (n) 恰好把 Z 切成 |n| 個剩餘類，故其大小是 |n|。理想的範數把這種計數推廣到任意整數環，且它像絕對值一樣具有乘法性。

對整數環 O_K 的一個非零理想 I，範數 N(I) 是商環 O_K / I 的基數，它總是有限的。關鍵性質是乘法性：對所有非零理想 N(I J) = N(I) N(J)，這由素理想唯一分解加上 N(P^k) = N(P)^k 推出。對主理想，N((a)) 等於 a 的域範數的絕對值。

理想範數是諸多有限性定理背後的主力。任何給定範數的理想只有有限多個，這使閔可夫斯基界論證成為可能：界住範數便界住了搜索範圍。對位於有理素數 p 之上、剩餘次數為 f 的素理想 P，範數為 N(P) = p^f，把範數直接與分裂數據繫在一起。