理想類群

有些整數環享有唯一分解，有些則不然，我們想要一個單一對象，恰好刻畫給定的環離理想情形有多遠。其想法是：當兩個理想僅相差一個主理想——相差一個誠實的元素——時，便宣布它們「相同」。在忽略一切主理想之後剩下的區別，組裝成一個群，其大小度量唯一分解失敗的程度。

設 R 是戴德金整環，分式域為 K。分式理想在乘法下構成阿貝爾群 I(R)，主分式理想 P(R) = {aR : a 屬於 K^*} 構成一個子群。理想類群是商 Cl(R) = I(R) / P(R)。兩個理想屬於同一類當且僅當其一是另一的非零標量倍。

對數域的整數環，類群是有限的，且恰好在 O_K 是主理想整環時平凡——對戴德金整環而言，這與是唯一分解整環等價。它的階即類數。類群處於若干基本正合列之中，是數域最核心的不變量之一。