代數數論
分式理想
環的普通理想是對加法封閉的倍數之集；它們住在環裡。然而要構造一個乘法群，我們需要逆元，而通常定義的理想並無逆元。補救之道是允許一個公共分母，正如 3/4 讓你用整數造出分數。分式理想就是「帶有界分母的理想」，而它們確實構成一個群。
設 R 是戴德金整環（例如 O_K），分式域為 K。分式理想是 K 的一個非零有限生成 R-子模 M。等價地，存在非零的 d 屬於 R 使得 dM 含於 R，故 M = (1/d) I，其中 I 是普通理想。兩個分式理想之積由它們元素的所有乘積生成，而普通理想恰好就是含於 R 的分式理想，即整的那些。
決定性的定理是：在戴德金整環中每個非零分式理想都可逆：M 乘 M^{-1} = R，其中 M^{-1} = {x 屬於 K : xM 含於 R}。於是全體非零分式理想在乘法下構成一個阿貝爾群，單位元為 R。主分式理想（aR，a 屬於 K^*）構成一個子群，其商即理想類群。
在 R = Z 中，每個分式理想都形如 (a/b) Z（a/b 為有理數），且 ((2/3) Z) 乘 ((3/2) Z) = Z，明確展示了逆元。
在 Z 上所有分式理想皆為主理想，故分式理想群恰為 Q^* / {正負 1}。
另見