類數

如果說理想類群是對唯一分解失敗方式的精確診斷，那麼類數就是最重要的頭條統計量：到底有多少個不同的理想類？當它等於 1 時，整數環的分解與普通整數一樣美好；當它很大時，算術也相應地更狂野。

數域 K 的類數 h_K 是其理想類群 Cl(O_K) 的階。它總是一個有限正整數，這一定理因閔可夫斯基界而變得可計算：該界保證每個理想類都含有一個小範數的代表元，從而把計算化為有限搜索。類數等於 1 當且僅當 O_K 是主理想整環。

類數神秘而被深入研究。高斯猜想每個類數的虛二次域只有有限多個，最終對 h = 1 得到證明（恰有九個），並由戈德費爾德、格羅斯與扎吉爾在一般情形得證。解析類數公式透過戴德金 zeta 函數在 s = 1 處的留數表達 h_K，把類數與 L-函數聯繫起來。