二次域

超越有理數本身之後最簡單的數域，是透過添入單個平方根而得到的那些，比如 sqrt(2) 或 sqrt(-1)。這些二次域是代數數論的實驗室：小到足以用手算出一切，又豐富到足以以最乾淨的形式展現分歧、類群、單位與互反律。

二次域是 Q 上 2 次的數域 K。每個這樣的域都形如 Q(sqrt(d))，其中 d 是唯一確定的不等於 1 的無平方因子整數；當 d > 0 時它是實的（有兩個實嵌入），當 d < 0 時它是虛的（有一對複嵌入）。其整數環在 d ≡ 2 或 3 (mod 4) 時為 Z[sqrt(d)]，在 d ≡ 1 (mod 4) 時為更大的環 Z[(1 + sqrt(d))/2]。

二次域恰好就是 Q 的、伽羅瓦群為 Z/2Z 的阿貝爾擴張，其算術由二次互反律支配：一個素數如何在 Q(sqrt(d)) 中分裂由一個勒讓德符號決定，因而由模判別式的同餘決定。虛二次域的類數是本學科中最深刻的對象之列。