雙線性與二次形式
二次形式
二次形式是單變量表達式 x^2 的多變量推廣。正如平方按二次縮放（x 翻倍則 x^2 變為四倍），向量空間上的二次形式 Q 滿足 Q(av) = a^2 Q(v)，其表達式是座標的二次齊次多項式——只出現形如 x_i x_j 的項，絕不會有孤立的 x_i 或常數項。它正是度量長度平方、能量與曲率的恰當對象。
具體地說，體 K 上 V 的二次形式是一個映射 Q : V → K，對一切純量 a 滿足 Q(av) = a^2 Q(v)，且使映射 B(u, v) = Q(u + v) - Q(u) - Q(v) 為雙線性的。此 B 是對稱的，稱為伴隨（極）雙線性形式。在座標下 Q(x) = 對 i ≤ j 求和的 a_ij x_i x_j；當 K 的特徵不為 2 時，它等於 x^T A x，其中 A 為對稱矩陣，由折半之和在對角線上還原出 Q。
當特徵不為 2 時，二次形式與對稱雙線性形式互相決定：Q(v) = B(v, v) 由 B 還原 Q，而極化由 Q 還原 B。在特徵 2 中此對應失效，二次形式所含資訊嚴格多於其極形式；這時人們就用上述兩條公理定義二次形式，僅把極形式留作輔助不變量。
Q 上 Q(x, y) = x^2 + xy + y^2 是一個二次形式；其極雙線性形式為 B((x,y),(x',y')) = 2xx' + xy' + x'y + 2yy'，對稱，矩陣為 [2, 1; 1, 2]。注意 Q(v) = (1/2) B(v, v)。
Q 上的一個二元二次形式及其極形式。
『二次空間』是配備了二次形式的向量空間。在等距同構意義下對二次空間進行分類——借助秩、判別式、符號差、哈塞不變量——是整個領域的核心目標之一。
另見