雙線性與二次形式
極化恆等式
若你只知道各向量的長度平方，能否還原出產生它們的點積？出人意料地，可以——極化恆等式正是做這件事的公式。它由單輸入的『平方』函數重建出雙輸入的對稱配對，正如普通代數中你能由 (a+b)^2、a^2 與 b^2 還原出 ab 一樣。
給定二次形式 Q 及其極形式 B(u, v) = Q(u + v) - Q(u) - Q(v)，由 Q 還原出的對稱雙線性形式為 B(u, v) = (1/2)[Q(u + v) - Q(u) - Q(v)]，此式在體中 2 可逆時成立。等價地 B(u, v) = (1/4)[Q(u + v) - Q(u - v)]。無論哪種寫法，該形式都完全由其在單個向量上的值 Q(v) = B(v, v) 所確定。
其隱藏前提是 2 必須可逆。在特徵 2 的體上，因子 1/2 毫無意義，極化失效：不同的二次形式可以共享同一個極雙線性形式——這正是那裡要把二次形式當作原始對象的原因。因此極化恆等式是一座橋，它使『對稱雙線性形式』與『二次形式』在特徵非 2 時可以互換。
對 R^n 上的 Q(x) = |x|^2，極化給出點積：(1/4)(|x+y|^2 - |x-y|^2) = x · y。試取 x = (1,0)，y = (0,1)：(1/4)(2 - 2) = 0，正確地反映了 e_1 與 e_2 的正交。
由範數平方還原點積。
同樣的技巧也出現在內積空間中，用以由範數還原內積；在更高次數下，它表現為由對角限制還原對稱多重線性映射的公式。
另見