雙線性形式
把它想成一台有兩個輸入口的機器：每個口各餵入一個向量，它就吐出一個純量。其關鍵特徵在於，若把一個輸入口固定住，機器在另一個口上就像普通的線性映射：該輸入翻倍則輸出翻倍，輸入相加則輸出相加。由於這一性質在每個口上各自成立——故稱『雙』線性——它正是線性泛函的兩參數自然推廣。
確切地說，設 V 是體 K 上的向量空間，雙線性形式是一個映射 B：V × V → K，使得固定第二個參數時映射 u ↦ B(u, v) 是 K-線性的，固定第一個參數時映射 v ↦ B(u, v) 也是 K-線性的。等價地，B(au + bu', v) = aB(u, v) + bB(u', v) 且 B(u, av + bv') = aB(u, v) + bB(u, v') 對一切純量 a, b 成立。一旦選定 V 的一組基，B 便由其格拉姆矩陣 G 編碼，其元素 G_ij = B(e_i, e_j)，於是 B(u, v) = x^T G y，其中 x, y 是 u, v 的座標行。
雙線性形式不必對稱：B(u, v) 與 B(v, u) 可以不同。當 K 的特徵不為 2 時，任意 B 都可分解為對稱部分與交錯部分之和，而對稱部分正是產生二次形式的來源。R^n 上的點積、對任意固定矩陣 A 的形式 x^T A y、以及空間與其對偶空間之間的配對，都是典型例子。
在 R^2 上取 B(x, y) = x_1 y_1 + 2 x_1 y_2 - x_2 y_2，格拉姆矩陣為 [1, 2; 0, -1]。則 B((1,1),(1,1)) = 1 + 2 - 1 = 2，且固定第二個參數時它對第一個參數線性。
一個非對稱的雙線性形式及其格拉姆矩陣。
雙線性是相對於同一個體而言的。若映射在兩個參數上各自線性，但在其中一個上是共軛線性的（如複內積空間上那樣），那是半雙線性形式，而非雙線性形式；這一區別在 C 上至關重要。