多重線性代數與張量代數
對偶空間
對偶空間是你能對一個向量空間施行的全部線性『測量』的總和——每一個都是一條規則，吞入一個向量、以線性方式輸出一個純量。若向量是箭頭，對偶向量便是從中讀數的量規與尺子；它們合起來構成一個自身的空間，與原空間相映照。
對體 K 上的向量空間 V，對偶空間是 V* = Hom_K(V, K)，即一切 K-線性映射（線性泛函）V -> K 的集合。它在逐點加法與數乘下本身是向量空間。當 dim V = n 有限時，dim V* = n 亦然，故 V 與 V* 同構——但並非典範的：該同構依賴於基的選取，經由對偶基給出。
然而，到雙對偶空間存在一個典範單射 V -> (V*)*，把 v 送到在 v 處的求值映射；在有限維中它是同構，故 V ≅ (V*)* 是自然的。對偶空間是張量分析中餘向量（下標）的來源：一般張量棲身於若干份 V 與若干份 V* 的張量積中，而縮併把一個 V-口與一個 V*-口配對。
在 V = R^2 上，座標泛函 e_1*(x, y) = x 與 e_2*(x, y) = y 構成 V* 的一組基。任意泛函都是某 a x + b y，例如映射 (x, y) ↦ 3x − y 即 3 e_1* − e_2*。
讀取座標的泛函構成 V* 的對偶基。
在無窮維中，自然映射 V -> (V*)* 是單射但一般不是滿射，故 V 不與其雙對偶同構。自反空間恰是該映射為同構者——這比有限維情形微妙得多。
另見