縮併

縮併就是讓一個向量與一個餘向量相遇並坍縮成一個數，從張量中去掉一個上指標和一個下指標。它是物理中對重複指標求和的代數對應：選定一個向量口與一個對偶口，用自然的求值把它們配對，張量的秩便下降二。

其種子是典範的求值配對 V ⊗ V* -> K，v ⊗ φ ↦ φ(v)，因 (v, φ) ↦ φ(v) 雙線性，由萬有性質良定義。對 V^{⊗p} ⊗ (V*)^{⊗q} 中的混合張量，選取一份 V 因子與一份 V* 因子，在該處施行此配對、其餘不動，便得到 V^{⊗(p−1)} ⊗ (V*)^{⊗(q−1)} 中的張量。用指標記法這恰是愛因斯坦求和 T^{...i...}_{...i...}。

縮併統一了許多熟悉的運算：線性映射的跡是 V ⊗ V* 中相應元素的完全縮併，向量與餘向量的配對是單次縮併，矩陣乘法是對共享指標的縮併。因為它僅由典範配對構造而成，縮併與基無關——是張量上真正內在的運算。